درس‌هایی در هندسه منیفلدها ۲۰۰۷
Lectures on the Geometry of Manifolds 2007

هدف این کتاب آشنا ساختن خواننده با برخی از پرکاربردترین تکنیک‌ها در هندسه سراسری مدرن است. این اثر برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی تازه‌کار که مایل به تخصص در این زمینه بسیار چالش‌برانگیز هستند مناسب است، و پیش‌نیازهای لازم، دانش کافی در حساب چند متغیره، جبر خطی و توپولوژی مجموعه‌ای است. فلسفه راهنمای کتاب، به قول نیوتن، این است که “در یادگیری علوم، مثال‌ها از دستورالعمل‌ها مفیدتر هستند.” ما تمام مفاهیم جدید را با مثال‌ها پشتیبانی می‌کنیم و هر زمان که ممکن بود، تلاش کردیم جنبه‌های مختلف یک مسئله را ارائه دهیم.

در حالی که ما بیشتر جنبه‌های موضعی هندسه دیفرانسیل کلاسیک را ارائه می‌دهیم، کتاب دارای یک “گرایش سراسری و تحلیلی” است. ما بسیاری از تکنیک‌های جبری-توپولوژیکی را در زمینه ویژه خمینه (manifold)های هموار مانند دوگانگی پوانکاره، یکریختی تام، نظریه تقاطع، رده‌های مشخصه و قضیه گاوس-بونه توسعه می‌دهیم.

بخش قابل توجهی از کتاب را به توصیف تکنیک‌های تحلیلی اختصاص داده‌ایم که در دهه‌های گذشته نقش فزاینده‌ای ایفا کرده‌اند. بنابراین، بخش آخر کتاب به بحث در مورد معادلات بیضوی، از جمله تخمین‌های بیضوی Lp و هولدر، نظریه فردهلم، نظریه طیفی، نظریه هاج و کاربردهای اینها می‌پردازد. فصل آخر یک بررسی عمیق از یک رده بسیار ویژه، اما اساسی از عملگرهای بیضوی، یعنی عملگرهای نوع دیراک است.

ویرایش دوم دارای مثال‌ها و تمرین‌های جدید بسیاری است و یک فصل کاملاً جدید در مورد هندسه انتگرال کلاسیک که در آن برخی از جواهرات ریاضی را توصیف می‌کنیم که ظاهراً، ناعادلانه، از کانون توجه ریاضیات معاصر ناپدید شده‌اند.

The goal of this book is to introduce the reader to some of the most frequently used techniques in modern global geometry. Suited to the beginning graduate student willing to specialize in this very challenging field, the necessary prerequisite is a good knowledge of several variables calculus, linear algebra and point-set topology.The book’s guiding philosophy is, in the words of Newton, that “in learning the sciences examples are of more use than precepts”. We support all the new concepts by examples and, whenever possible, we tried to present several facets of the same issue.While we present most of the local aspects of classical differential geometry, the book has a “global and analytical bias”. We develop many algebraic-topological techniques in the special context of smooth manifolds such as Poincar� duality, Thom isomorphism, intersection theory, characteristic classes and the Gauss-Bonnet theorem.We devoted quite a substantial part of the book to describing the analytic techniques which have played an increasingly important role during the past decades. Thus, the last part of the book discusses elliptic equations, including elliptic Lpand H�lder estimates, Fredholm theory, spectral theory, Hodge theory, and applications of these. The last chapter is an in-depth investigation of a very special, but fundamental class of elliptic operators, namely, the Dirac type operators.The second edition has many new examples and exercises, and an entirely new chapter on classical integral geometry where we describe some mathematical gems which, undeservedly, seem to have disappeared from the contemporary mathematical limelight.