مقدمه‌ای بر تکنیک‌های گذر از تراز تصادفی ۲۰۲۳
Introduction to Stochastic Level Crossing Techniques 2023

مقدمه‌ای بر تکنیک‌های گذر از سطح تصادفی، به توصیف مدل‌های تصادفی و تحلیل آن‌ها با استفاده از روش گذر از سطح نقطه‌ی سیستم (که به اختصار SPLC یا LC نامیده می‌شود) می‌پردازد. این روش شامل استخراج توابع چگالی احتمال (pdfs) یا توابع توزیع احتمال تجمعی (cdfs) متغیرهای تصادفی کلیدی و به کارگیری قضایای حد گذر از سطح ساده است که توسط نویسنده توسعه داده شده‌اند. از توابع چگالی احتمال و/یا توابع توزیع احتمال تجمعی برای تعیین ویژگی‌های عملیاتی مربوط به مدل تصادفی مورد نظر استفاده می‌شود. فصل‌ها به توصیف مدل‌های تصادفی متمایز و متغیرهای تصادفی کلیدی مرتبط در مدل‌ها می‌پردازند. برای هر مدل، شکلی از یک مسیر نمونه‌ی معمول (تحقق، یعنی ردیابی در طول زمان) از متغیر تصادفی کلیدی نمایش داده می‌شود. برای هر مدل، یک معادله‌ی انتگرال تحلیلی (ولترا) برای تابع چگالی احتمال ایستا (stationary pdf) متغیر تصادفی کلیدی ایجاد می‌شود – با بررسی مسیر نمونه و با استفاده از قضایای حد LC ساده. این روش LC مقدار زیادی از جبر را که معمولاً توسط سایر روش‌های تحلیل مورد نیاز است، دور می‌زند. معادلات انتگرال به طور مستقیم یا با استفاده از محاسبات حل خواهند شد. این کتاب برای دانشجویان رشته‌های ریاضیات، علوم مدیریت، مهندسی، علوم طبیعی و محققانی که از احتمالات کاربردی استفاده می‌کنند در نظر گرفته شده است. همچنین برای کارکنان فنی در طیف وسیعی از مشاغل مفید خواهد بود.

ویژگی‌های کلیدی:

* توصیف یک مدل تصادفی نماینده (به عنوان مثال، یک صف تک‌خدمت‌دهنده M/G/1؛ یک صف چندخدمت‌دهنده M/M/c؛ یک سیستم موجودی کالا؛ و غیره)

* ساخت یک مسیر نمونه‌ی معمول از متغیر تصادفی کلیدی مورد نظر (به عنوان مثال، زمان انتظار مجازی یا حجم کار در صف‌ها؛ موجودی خالص در دسترس در سیستم‌های موجودی کالا؛ و غیره)

* بیان قضایای LC ساده، که نرخ‌های بالا گذر و پایین گذر مسیر نمونه را در سطوح فضای حالت، به توابع ریاضی ساده از تابع چگالی احتمال ایستا (stationary pdf) متغیر تصادفی کلیدی، در آن سطوح فضای حالت مرتبط می‌کند.

* ایجاد معادلات انتگرال (معمولاً ولترا) برای تابع چگالی احتمال ایستا (stationary pdf) متغیر تصادفی کلیدی، با بررسی مسیر نمونه.

* حل تحلیلی مستقیم معادلات انتگرال، در صورت امکان؛ یا، حل محاسباتی معادلات انتگرال.

* استفاده از توابع چگالی احتمال ایستای (stationary pdfs) استخراج شده برای به دست آوردن ویژگی‌های عملیاتی مدل.

Introduction to Stochastic Level Crossing Techniques describes stochastic models and their analysis using the System Point Level Crossing method (abbreviated SPLC or LC). This involves deriving probability density functions (pdfs) or cumulative probability distribution functions (cdfs) of key random variables, applying simple level-crossing limit theorems developed by the author. The pdfs and/or cdfs are used to specify operational characteristics about the stochastic model of interest. The chapters describe distinct stochastic models and associated key random variables in the models. For each model, a figure of a typical sample path (realization, i.e., tracing over time) of the key random variable is displayed. For each model, an analytic (Volterra) integral equation for the stationary pdf of the key random variable is created−by inspection of the sample path, using the simple LC limit theorems. This LC method bypasses a great deal of algebra, usually required by other methods of analysis. The integral equations will be solved directly, or computationally. This book is meant for students of mathematics, management science, engineering, natural sciences, and researchers who use applied probability. It will also be useful to technical workers in a range of professions.

Key Features:

• A description of one representative stochastic model (e.g., a single-server M/G/1 queue; a multiple server M/M/c queue; an inventory system; etc.)
• Construction of a typical sample path of the key random variable of interest (e.g., the virtual waiting time or workload in queues; the net on-hand inventory in inventory systems; etc.)
• Statements of the simple LC theorems, which connect the sample-path upcrossing and downcrossing rates across state-space levels, to simple mathematical functions of the stationary pdf of the key random variable, at those state-space levels
• Creation of (usually Volterra) integral equations for the stationary pdf of the key random variable, by inspection of the sample path
• Direct analytic solution of the integral equations, where feasible; or, computational solutions of the integral equations
• Use of the derived stationary pdfs for obtaining operational characteristics of the model