از ساختارهای جبری تا تنسورها ۲۰۱۹
From Algebraic Structures to Tensors 2019

امروزه، تانسورها نقشی محوری در نمایش، داده‌کاوی، تحلیل و ادغام داده‌های بزرگ چندبعدی، چندوجهی و ناهمگن در زمینه‌های گوناگون ایفا می‌کنند. این مجموعه با عنوان «ماتریس‌ها و تانسورها در پردازش سیگنال» قصد دارد تا ارائه‌ای خودکفا و جامع از مفاهیم و روش‌های مختلف، از ساختارهای جبری بنیادی گرفته تا کاربردهای پیشرفته مبتنی بر تانسور، شامل مدل‌های تانسوری توسعه‌یافته و الگوریتم‌های کارآمد برای کاهش ابعاد و تخمین پارامترها ارائه دهد. اگرچه عنوان این مجموعه بر جهت‌گیری آن به سمت پردازش سیگنال دلالت دارد، نتایج ارائه شده در آن برای خوانندگان علاقه‌مند به سایر رشته‌ها نیز مفید خواهد بود.

جلد اول این مجموعه، مقدمه‌ای بر ماتریس‌ها و تانسورهای مرتبه بالاتر بر اساس ساختارهای فضای برداری و فضای تانسوری ارائه می‌دهد. ابتدا برخی از ساختارهای جبری استاندارد توصیف می‌شوند، با تمرکز بر رویکرد هیلبرتی برای نمایش سیگنال و تقریب تابع بر اساس سری فوریه و سری چند جمله‌ای متعامد. ماتریس‌ها و فرامتریکس‌های مرتبط با نگاشت‌های خطی، دوجمله‌ای و چندخطی به طور خاص‌تری مورد مطالعه قرار می‌گیرند. برخی نتایج اساسی برای ماتریس‌های بلوکی ارائه شده‌اند. مفاهیم تجزیه، رتبه، مقدار ویژه، مقدار تکین و بازکردن یک تانسور معرفی می‌شوند، با تأکید بر شباهت‌ها و تفاوت‌های بین ماتریس‌ها و تانسورهای مرتبه بالاتر.

Nowadays, tensors play a central role for the representation, mining, analysis, and fusion of multidimensional, multimodal, and heterogeneous big data in numerous fields. This set on Matrices and Tensors in Signal Processing aims at giving a self-contained and comprehensive presentation of various concepts and methods, starting from fundamental algebraic structures to advanced tensor-based applications, including recently developed tensor models and efficient algorithms for dimensionality reduction and parameter estimation. Although its title suggests an orientation towards signal processing, the results presented in this set will also be of use to readers interested in other disciplines. This first book provides an introduction to matrices and tensors of higher-order based on the structures of vector space and tensor space. Some standard algebraic structures are first described, with a focus on the hilbertian approach for signal representation, and function approximation based on Fourier series and orthogonal polynomial series. Matrices and hypermatrices associated with linear, bilinear and multilinear maps are more particularly studied. Some basic results are presented for block matrices. The notions of decomposition, rank, eigenvalue, singular value, and unfolding of a tensor are introduced, by emphasizing similarities and differences between matrices and tensors of higher-order.