اصول موضوعه برای شبکه‌ها و جبرهای بولی ۲۰۰۸
Axioms for Lattices and Boolean Algebras 2008

اهمیت اصول موضوعه معادلات، ابتدا با رویکرد اصل موضوعی به جبرهای بولی، گروه‌ها و حلقه‌ها و سپس در شبکه‌ها آشکار شد. این تک‌نگاشت پژوهشی منحصربه‌فرد، به طور سیستماتیک، مجموعه‌های اصول موضوعه معادله‌ایِ حداقل را برای انواع مختلف جبرهای مرتبط با شبکه، صرف‌نظر از اینکه بر اساس اجتماع و اشتراک یا انواع دیگری از عملیات مانند عملیات سه‌تایی ارائه شده باشند، ارائه می‌کند. هر یک از مجموعه‌های اصول موضوعه به روشی کاربردی کدگذاری شده‌اند تا پیگیری ارتباط طبیعی بین اصول موضوعه مختلف و درک نحوه ترکیب آن‌ها برای تشکیل مجموعه‌های اصول موضوعه جدید، آسان باشد.

موضوع جدیدی که در این کتاب به آن پرداخته شده، توصیف جبرهای بولی در میان تمام شبکه‌های منحصربه‌فرد متمم‌دار است. در اینجا، مسئله مشهور E.V. Huntington مورد بررسی قرار می‌گیرد که به گفته G. Gratzer، یکی از متخصصان برجسته در نظریه شبکه‌های مدرن، یکی از دو مسئله‌ای است که یک قرن تحقیق در نظریه شبکه‌ها را شکل داده است. در میان سایر موارد، نشان داده شده است که بی‌نهایت اتحاد غیرمدولار شبکه وجود دارد که یک شبکه منحصربه‌فرد متمم‌دار را مجبور می‌کند تا بولی باشد، در نتیجه چندین مجموعه اصول موضوعه جدید برای جبرهای بولی در میان تمام شبکه‌های منحصربه‌فرد متمم‌دار ارائه می‌شود. در نهایت، تعدادی از خطوط تحقیقاتی مرتبط، در قالب پیوست‌ها، ترسیم شده‌اند، از جمله پیوست توسط دکتر ویلیام مک‌کیون از دانشگاه نیومکزیکو، در مورد کاربردهای اثبات قضیه مدرن در نظریه معادلات شبکه‌ها.

The importance of equational axioms emerged initially with the axiomatic approach to Boolean algebras, groups, and rings, and later in lattices. This unique research monograph systematically presents minimal equational axiom-systems for various lattice-related algebras, regardless of whether they are given in terms of OC join and meetOCO or other types of operations such as ternary operations. Each of the axiom-systems is coded in a handy way so that it is easy to follow the natural connection among the various axioms and to understand how to combine them to form new axiom systems.A new topic in this book is the characterization of Boolean algebras within the class of all uniquely complemented lattices. Here, the celebrated problem of E V Huntington is addressed, which OCo according to G Gratzer, a leading expert in modern lattice theory OCo is one of the two problems that shaped a century of research in lattice theory. Among other things, it is shown that there are infinitely many non-modular lattice identities that force a uniquely complemented lattice to be Boolean, thus providing several new axiom systems for Boolean algebras within the class of all uniquely complemented lattices. Finally, a few related lines of research are sketched, in the form of appendices, including one by Dr Willian McCune of the University of New Mexico, on applications of modern theorem-proving to the equational theory of lattices.