آنالیز تانسوری با کاربردها در مکانیک ۲۰۱۰
Tensor Analysis with Applications in Mechanics 2010

۱. مقدمات. ۱.۱. بازنگری مفهوم بردار. ۱.۲. نگاهی اجمالی به تانسورها. ۱.۳. پیش‌زمینه‌ی مفروض. ۱.۴. بیشتر در مورد مفهوم بردار. ۱.۵. مسائل — ۲. تبدیلات و بردارها. ۲.۱. تغییر پایه. ۲.۲. پایه‌های دوگان. ۲.۳. تبدیل به چارچوب متقابل. ۲.۴. تبدیل بین چارچوب‌های عمومی. ۲.۵. مولفه‌های همورد و پادوردا. ۲.۶. ضرب خارجی در نمادگذاری اندیسی. ۲.۷. نرم‌ها بر روی فضای بردارها. ۲.۸. سخن پایانی. ۲.۹. مسائل — ۳. تانسورها. ۳.۱. کمیت‌های دیادیک و تانسورها. ۳.۲. تانسورها از دیدگاه عملگر. ۳.۳. مولفه‌های دیادیک تحت تبدیل. ۳.۴. عملیات‌های دیادیک بیشتر. ۳.۵. خواص تانسورهای مرتبه دوم. ۳.۶. مقادیر ویژه و بردارهای ویژه یک تانسور متقارن مرتبه دوم. ۳.۷. قضیه کیلی-همیلتون. ۳.۸. دیگر خواص تانسورهای مرتبه دوم. ۳.۹. گسترش ایده دیاد. ۳.۱۰. تانسورهای مرتبه چهارم و بالاتر. ۳.۱۱. توابع با آرگومان‌های تانسوری. ۳.۱۲. نرم‌ها برای تانسورها، و برخی فضاها. ۳.۱۳. مشتق‌گیری از توابع تانسوری. ۳.۱۴. مسائل — ۴. میدان‌های تانسوری. ۴.۱. میدان‌های برداری. ۴.۲. دیفرانسیل‌ها و عملگر نابلا. ۴.۳. مشتق‌گیری از یک تابع برداری. ۴.۴. مشتقات بردارهای چارچوب. ۴.۵. ضرایب کریستوفل و خواص آن‌ها. ۴.۶. مشتق‌گیری هموردا. ۴.۷. مشتق همورد یک تانسور مرتبه دوم. ۴.۸. عملیات‌های دیفرانسیلی. ۴.۹. سیستم‌های مختصات متعامد. ۴.۱۰. برخی فرمول‌های انتگرال‌گیری. ۴.۱۱. مسائل — ۵. مبانی هندسه دیفرانسیل. ۵.۱. حقایق مقدماتی از نظریه منحنی‌ها. ۵.۲. پیچش یک منحنی. ۵.۳. معادلات فرنه-سره. ۵.۴. مبانی نظریه سطوح. ۵.۵. فرم اساسی دوم یک سطح. ۵.۶. فرمول‌های مشتق‌گیری. ۵.۷. نمایش ضمنی یک منحنی؛ تماس منحنی‌ها. ۵.۸. سهمی‌گون بوساننده. ۵.۹. خمش‌های اصلی یک سطح. ۵.۱۰. سطوح دورانی. ۵.۱۱. معادلات طبیعی یک منحنی. ۵.۱۲. نکته‌ای در مورد دقت. ۵.۱۳. نتیجه‌گیری. ۵.۱۴. مسائل — ۶. الاستیسیته خطی. ۶.۱. تانسور تنش. ۶.۲. تانسور کرنش. ۶.۳. معادله حرکت. ۶.۴. قانون هوک. ۶.۵. معادلات تعادل بر حسب جابجایی‌ها. ۶.۶. شرایط مرزی و مسائل مقدار مرزی. ۶.۷. معادلات تعادل بر حسب تنش‌ها. ۶.۸. یکتایی حل برای مسائل مقدار مرزی الاستیسیته. ۶.۹. قضیه تعامل متقابل بتی. ۶.۱۰. اصل کمترین انرژی کل. ۶.۱۱. روش ریتز. ۶.۱۲. اصل وردشی ریلی. ۶.۱۳. امواج صفحه‌ای. ۶.۱۴. مسائل صفحه‌ای الاستیسیته. ۶.۱۵. مسائل — ۷. پوسته‌های الاستیک خطی. ۷.۱. برخی فرمول‌های مفید از نظریه سطح. ۷.۲. سینماتیک در همسایگی [symbol]. ۷.۳. معادلات تعادل پوسته. ۷.۴. تغییر شکل و کرنش‌های پوسته؛ فرضیه‌های کیرشهف. ۷.۵. انرژی پوسته. ۷.۶. شرایط مرزی. ۷.۷. چند نکته در مورد نظریه کیرشهف-لاو. ۷.۸. نظریه صفحه. ۷.۹. در مورد نظریه‌های غیرکلاسیک صفحات و پوسته‌ها.

1. Preliminaries. 1.1. The vector concept revisited. 1.2. A first look at tensors. 1.3. Assumed background. 1.4. More on the notion of a vector. 1.5. Problems — 2. Transformations and vectors. 2.1. Change of basis. 2.2. Dual bases. 2.3. Transformation to the reciprocal frame. 2.4. Transformation between general frames. 2.5. Covariant and contravariant components. 2.6. The cross product in index notation. 2.7. Norms on the space of vectors. 2.8. Closing remarks. 2.9. Problems — 3. Tensors. 3.1. Dyadic quantities and tensors. 3.2. Tensors from an operator viewpoint. 3.3. Dyadic components under transformation. 3.4. More dyadic operations. 3.5. Properties of second-order tensors. 3.6. Eigenvalues and eigenvectors of a second-order symmetric tensor. 3.7. The Cayley-Hamilton theorem. 3.8. Other properties of second-order tensors. 3.9. Extending the Dyad idea. 3.10. Tensors of the fourth and higher orders. 3.11. Functions of tensorial arguments. 3.12. Norms for tensors, and some spaces. 3.13. Differentiation of tensorial functions. 3.14. Problems — 4. Tensor fields. 4.1. Vector fields. 4.2. Differentials and the nabla operator. 4.3. Differentiation of a vector function. 4.4. Derivatives of the frame vectors. 4.5. Christoffel coefficients and their properties. 4.6. Covariant differentiation. 4.7. Covariant derivative of a second-order tensor. 4.8. Differential operations. 4.9. Orthogonal coordinate systems. 4.10. Some formulas of integration. 4.11. Problems — 5. Elements of differential geometry. 5.1. Elementary facts from the theory of curves. 5.2. The torsion of a curve. 5.3. Frenet-Serret equations. 5.4. Elements of the theory of surfaces. 5.5. The second fundamental form of a surface. 5.6. Derivation formulas. 5.7. Implicit representation of a curve; contact of curves. 5.8. Osculating paraboloid. 5.9. The principal curvatures of a surface. 5.10. Surfaces of revolution. 5.11. Natural equations of a curve. 5.12. A word about rigor. 5.13. Conclusion. 5.14. Problems — 6. Linear elasticity. 6.1. Stress tensor. 6.2. Strain tensor. 6.3. Equation of motion. 6.4. Hooke’s law. 6.5. Equilibrium equations in displacements. 6.6. Boundary conditions and boundary value problems. 6.7. Equilibrium equations in stresses. 6.8. Uniqueness of solution for the boundary value problems of elasticity. 6.9. Betti’s reciprocity theorem. 6.10. Minimum total energy principle. 6.11. Ritz’s method. 6.12. Rayleigh’s variational principle. 6.13. Plane waves. 6.14. Plane problems of elasticity. 6.15. Problems — 7. Linear elastic shells. 7.1. Some useful formulas of surface theory. 7.2. Kinematics in a neighborhood of [symbol]. 7.3. Shell equilibrium equations. 7.4. Shell deformation and strains; Kirchhoff’s hypotheses. 7.5. Shell energy. 7.6. Boundary conditions. 7.7. A few remarks on the Kirchhoff-Love theory. 7.8. Plate theory. 7.9. On Non-classical theories of plates and shells