روش تبدیل Mellin برای ارزیابی انتگرال: مقدمه و کاربردها در الکترومغناطیس ۲۰۲۲
Mellin-Transform Method for Integral Evaluation: Introduction and Applications to Electromagnetics 2022

این کتاب روش تبدیل مِلین را برای محاسبه دقیق انتگرال‌های معین یک‌بعدی معرفی می‌کند و کاربرد این روش را در مسائل الکترومغناطیس به تصویر می‌کشد. پس از تسلط بر اصول اولیه، به سرعت متوجه می‌شویم که این روش بسیار قدرتمند است و اغلب عبارات بسته (closed-form) به دست می‌دهد که دستیابی به آن‌ها با روش‌های دیگر یا استنتاج از جداول رایج انتگرال‌ها بسیار دشوار است. با این حال، برخلاف روش‌های دیگر، روش حاضر کاربرد بسیار ساده‌ای دارد. معمولاً به محاسبات طاقت‌فرسا نیاز دارد، اما ابتکار چندانی لازم ندارد. دو تابع، تابع ابرهندسی تعمیم‌یافته و تابع جی مایر، ارتباط نزدیکی با روش تبدیل مِلین دارند و اغلب هنگام استفاده از این روش ظاهر می‌شوند. از آنجا که این توابع را می‌توان به طور خودکار توسط روال‌های عددی مدرن مدیریت کرد، اکنون بسیار مفیدتر از گذشته هستند. ابتدا روش تبدیل مِلین و دو تابع ذکر شده مورد بحث قرار می‌گیرند. سپس این روش در سه مثال برای به دست آوردن نتایجی به کار می‌رود که حداقل در ادبیات آنتن/الکترومغناطیس، اعتقاد بر این است که جدید هستند. در مثال اول، یک عبارت بسته (closed-form)، به عنوان یک تابع ابرهندسی تعمیم‌یافته، برای توان تابش‌شده توسط یک آنتن حلقه دایره‌ای با جریان ثابت به دست می‌آید. مثال دوم مربوط به ادمیتانس یک آنتن شکافی 2 بعدی است. در هر دوی این مثال‌ها، عبارات بسته (closed-form) دقیق برای بهبود فرمول‌های موجود در کتاب‌های درسی استاندارد آنتن به کار می‌روند. در مثال سوم، یک عبارت بسیار ساده برای یک انتگرال حاصل از مطالعات جدید و منتشر نشده در مورد محیط‌های ناهمسانگرد دو محوری نامحدود استخراج می‌شود. مثال‌های اضافی نیز به طور خلاصه مورد بحث قرار می‌گیرند.

This book introduces the Mellin-transform method for the exact calculation of one-dimensional definite integrals, and illustrates the application if this method to electromagnetics problems. Once the basics have been mastered, one quickly realizes that the method is extremely powerful, often yielding closed-form expressions very difficult to come up with other methods or to deduce from the usual tables of integrals. Yet, as opposed to other methods, the present method is very straightforward to apply; it usually requires laborious calculations, but little ingenuity. Two functions, the generalized hypergeometric function and the Meijer G-function, are very much related to the Mellin-transform method and arise frequently when the method is applied. Because these functions can be automatically handled by modern numerical routines, they are now much more useful than they were in the past. The Mellin-transform method and the two aforementioned functions are discussed first. Then the methodis applied in three examples to obtain results, which, at least in the antenna/electromagnetics literature, are believed to be new. In the first example, a closed-form expression, as a generalized hypergeometric function, is obtained for the power radiated by a constant-current circular-loop antenna. The second example concerns the admittance of a 2-D slot antenna. In both these examples, the exact closed-form expressions are applied to improve upon existing formulas in standard antenna textbooks. In the third example, a very simple expression for an integral arising in recent, unpublished studies of unbounded, biaxially anisotropic media is derived. Additional examples are also briefly discussed.