مقدمه‌ای بر روش المان محدود در الکترومغناطیس ۲۰۲۲
Introduction to the Finite Element Method in Electromagnetics 2022

این مجموعه سخنرانی، مقدمه‌ای بر روش اجزاء محدود با کاربردهایی در الکترومغناطیس است. روش اجزاء محدود یک روش عددی است که برای حل مسائل مقدار مرزی که با یک معادله دیفرانسیل جزئی و مجموعه‌ای از شرایط مرزی مشخص می‌شوند، استفاده می‌شود. دامنه هندسی یک مسئله مقدار مرزی با استفاده از المان‌های زیر-دامنه، که اجزاء محدود نامیده می‌شوند، گسسته می‌شود و معادله دیفرانسیل پس از تبدیل شدن به یک فرم “ضعیف” انتگرو-دیفرانسیلی، بر روی یک المان منفرد اعمال می‌شود. مجموعه‌ای از توابع شکل برای نمایش متغیر مجهول اصلی در دامنه المان استفاده می‌شود. برای هر المان در دامنه گسسته شده، مجموعه‌ای از معادلات خطی به دست می‌آید. پس از مونتاژ همه المان‌ها، یک سیستم ماتریس سراسری تشکیل می‌شود. این سخنرانی به دو فصل تقسیم شده است. فصل 1 مسائل مقدار مرزی یک‌بعدی را با کاربردهایی در مسائل الکترواستاتیکی که توسط معادله پواسون توصیف می‌شوند، شرح می‌دهد. دقت روش اجزاء محدود برای المان‌های خطی و مرتبه بالاتر با محاسبه خطای عددی بر اساس دو تعریف مختلف ارزیابی می‌شود. فصل 2 مسائل مقدار مرزی دوبعدی در زمینه‌های الکترواستاتیک و الکترودینامیک (مسائل هارمونیک زمانی) را شرح می‌دهد. برای دسته دوم، یک شرط مرزی جاذب در مرز خارجی اعمال شد تا انتشار موج بدون مزاحمت به سمت بی‌نهایت شبیه‌سازی شود. محاسبات خطای عددی به منظور ارزیابی دقت و اثربخشی روش در حل مسائل الکترومغناطیسی انجام شد. هر دو فصل با تعدادی کد متلب همراه هستند که خواننده می‌تواند از آن‌ها برای حل مسائل مقدار مرزی یک و دو بعدی استفاده کند. این کدها را می‌توان از URL ناشر دانلود کرد: www.morganclaypool.com/page/polycarpou این سخنرانی در درجه اول برای مهندس غیرمتخصص یا دانشجوی کارشناسی یا کارشناسی ارشد که برای اولین بار می‌خواهد روش اجزاء محدود را با کاربردهایی در الکترومغناطیس بیاموزد، نوشته شده است. همچنین برای مهندسان پژوهشی که از سایر تکنیک‌های عددی آگاهی دارند و می‌خواهند با روش اجزاء محدود آشنا شوند، مناسب است. این سخنرانی با مبانی این روش، از جمله فرمول‌بندی یک مسئله مقدار مرزی با استفاده از یک روش باقیمانده وزنی و رویکرد گالرکین آغاز می‌شود و با اعمال هر سه نوع شرایط مرزی، از جمله شرایط مرزی جاذب، ادامه می‌یابد. موضوع مهم دیگر مورد تاکید، توسعه توابع شکل، از جمله توابع شکل مرتبه بالاتر است. به عبارت ساده، این مجموعه سخنرانی تمام اطلاعات لازم را برای کسی که می‌خواهد با موفقیت روش اجزاء محدود را در مسائل مقدار مرزی یک و دو بعدی در الکترومغناطیس اعمال کند، در اختیار خواننده قرار می‌دهد. این مجموعه برای تازه‌واردان به حوزه اجزاء محدود در الکترومغناطیس مناسب است.

This series lecture is an introduction to the finite element method with applications in electromagnetics. The finite element method is a numerical method that is used to solve boundary-value problems characterized by a partial differential equation and a set of boundary conditions. The geometrical domain of a boundary-value problem is discretized using sub-domain elements, called the finite elements, and the differential equation is applied to a single element after it is brought to a “weak” integro-differential form. A set of shape functions is used to represent the primary unknown variable in the element domain. A set of linear equations is obtained for each element in the discretized domain. A global matrix system is formed after the assembly of all elements. This lecture is divided into two chapters. Chapter 1 describes one-dimensional boundary-value problems with applications to electrostatic problems described by the Poisson’s equation. The accuracy of the finite element methodis evaluated for linear and higher order elements by computing the numerical error based on two different definitions. Chapter 2 describes two-dimensional boundary-value problems in the areas of electrostatics and electrodynamics (time-harmonic problems). For the second category, an absorbing boundary condition was imposed at the exterior boundary to simulate undisturbed wave propagation toward infinity. Computations of the numerical error were performed in order to evaluate the accuracy and effectiveness of the method in solving electromagnetic problems. Both chapters are accompanied by a number of Matlab codes which can be used by the reader to solve one- and two-dimensional boundary-value problems. These codes can be downloaded from the publisher’s URL: www.morganclaypool.com/page/polycarpou This lecture is written primarily for the nonexpert engineer or the undergraduate or graduate student who wants to learn, for the first time, the finite element method with applications to electromagnetics. It is also targeted for research engineers who have knowledge of other numerical techniques and want to familiarize themselves with the finite element method. The lecture begins with the basics of the method, including formulating a boundary-value problem using a weighted-residual method and the Galerkin approach, and continues with imposing all three types of boundary conditions including absorbing boundary conditions. Another important topic of emphasis is the development of shape functions including those of higher order. In simple words, this series lecture provides the reader with all information necessary for someone to apply successfully the finite element method to one- and two-dimensional boundary-value problems in electromagnetics. It is suitable for newcomers in the field of finite elements in electromagnetics.