چرخش‌های سه‌بعدی ۲۰۲۰
3D Rotations 2020

تحلیل دوران‌های سه‌بعدی به لطف پیشرفت رایانه‌ها، به وفور در مسائل روزمره دیده می‌شود. حس کردن سه‌بعدی با استفاده از دوربین‌ها و حسگرها، تحلیل و مدل‌سازی سه‌بعدی برای بینایی کامپیوتر و گرافیک کامپیوتری، و کنترل و شبیه‌سازی حرکت ربات، همگی نیازمند محاسبات دوران سه‌بعدی هستند. این کتاب بر تحلیل محاسباتی دوران سه‌بعدی تمرکز دارد، نه تحلیل حرکت کلاسیک. نویز را به عنوان متغیرهای تصادفی در نظر می‌گیرد و توزیع احتمالی آن‌ها را مدل می‌کند. همچنین به دنبال محاسبات بهینه آماری برای به حداکثر رساندن دقت مورد انتظار است، همان‌طور که در بهینه‌سازی غیرخطی معمول است. همه مفاهیم با استفاده از کاربردهای بینایی کامپیوتر به عنوان مثال نشان داده شده‌اند.

از نظر ریاضی، مجموعه تمام دوران‌های سه‌بعدی گروهی را تشکیل می‌دهد که با SO(3) نشان داده می‌شود. با بهره‌گیری از این خاصیت گروهی، ما یک راه حل بهینه به صورت تحلیلی یا عددی، بسته به مسئله، به دست می‌آوریم. طرح عددی ما، که آن را “روش جبر لی” می‌نامیم، بر اساس ساختار گروه لی SO(3) است.

این کتاب همچنین پروژه‌های محاسباتی را برای خوانندگانی پیشنهاد می‌کند که می‌خواهند نظریه‌های ارائه شده در این کتاب را کدنویسی کنند، و تنظیمات شبیه‌سازی سه‌بعدی لازم و همچنین داده‌های اندازه‌گیری سه‌بعدی GPS واقعی را ارائه می‌دهد. برای کمک به خوانندگانی که با ریاضیات انتزاعی آشنایی چندانی ندارند، یک مرور مختصر از جبر کواترنیون، تحلیل ماتریس، گروه‌های لی و جبرهای لی به عنوان پیوست در انتهای کتاب ارائه شده است.

3D rotation analysis is widely encountered in everyday problems thanks to the development of computers. Sensing 3D using cameras and sensors, analyzing and modeling 3D for computer vision and computer graphics, and controlling and simulating robot motion all require 3D rotation computation. This book focuses on the computational analysis of 3D rotation, rather than classical motion analysis. It regards noise as random variables and models their probability distributions. It also pursues statistically optimal computation for maximizing the expected accuracy, as is typical of nonlinear optimization. All concepts are illustrated using computer vision applications as examples.

Mathematically, the set of all 3D rotations forms a group denoted by SO(3). Exploiting this group property, we obtain an optimal solution analytical or numerically, depending on the problem. Our numerical scheme, which we call the “Lie algebra method,” is based on the Lie group structure of SO(3).

This book also proposes computing projects for readers who want to code the theories presented in this book, describing necessary 3D simulation setting as well as providing real GPS 3D measurement data. To help readers not very familiar with abstract mathematics, a brief overview of quaternion algebra, matrix analysis, Lie groups, and Lie algebras is provided as Appendix at the end of the volume.